Câu hỏi 23

Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?

Bài toán: Chứng minh quy nạp: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)

Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\,\,\,(k \ne 1)\)

Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:

\({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\)

Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.