Câu hỏi 29

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 2\) , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh \({{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)~=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\,\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({{S}_{k}}=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)=\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\). Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k+1, tức là cần chứng minh \({{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3\left( k+1 \right)+1 \right)}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\)

Ta có:

\(\begin{align}   {{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)\\=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)+\left( 3k+2 \right)  \\ =\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3k+2\\=\dfrac{3{{k}^{2}}+k+6k+4}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\end{align}\)

Do đó (*) đúng đến n = k + 1.

Vậy \({{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.