Trang chủ » Câu hỏi 59

Câu hỏi 59

Đáp án đúng: 
Đáp án C
Câu hỏi: 

Cho   \(m\) và \(n\)  là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}}\)   bằng:

Phương pháp giải : 

Biến đổi dựa vào công thức:  \(\frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}} = \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{{x^m} - {x^n}}}\)

Dùng giới hạn:

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^m} - {x^n}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^m} - 1} \right) - \left( {{x^n} - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{1} = m - n.\end{array}\)

Lời giải chi tiết : 

Ta có: \(\frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}} = \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{{x^m} - {x^n}}}\).

Xét giới hạn:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^m} - {x^n}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^m} - 1} \right) - \left( {{x^n} - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{1} = m - n\end{array}\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 1\)  nên  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}} = \frac{1}{{m - n}}\)

Chọn C.

Đáp án A: 

 \(m - n\)   

Đáp án B: 

 \(n - m\)  

Đáp án C: 

 \(\frac{1}{{m - n}}\)

Đáp án D: 

\(\frac{1}{{n - m}}\)


Bình luận

Mã giảm giá unica