Câu hỏi 14

Ta dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

\(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M=A'B\cap d\).

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình \(x+y-4=0\,\,\left( d' \right)\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)  là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=0 \\ {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{H}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'\left( 0;4 \right)\) 

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng A’B là : \(\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-4}{5-4}\Leftrightarrow \frac{x}{7}=y-4\Leftrightarrow x-7y+28=0\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x - 7y + 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)

Chọn C.