Câu hỏi 8

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) mà \(\Delta \,ABC\) vuông cân tại \(A\)

\(\Rightarrow \)\(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC.\)

Mà \(SA=SB=SC\)\(\Rightarrow \,\,SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Ta có \(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HC} \right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}=-\,\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}\)           \(\left( 1 \right).\)

Mặt khác \(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BA}=\left| \overrightarrow{BH} \right|.\left| \overrightarrow{BA} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{BH};\overrightarrow{BA} \right)}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\cos {{45}^{0}}=\frac{1}{2}\)       \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=-\,\frac{1}{2}=\left| \overrightarrow{SC} \right|.\left| \overrightarrow{AB} \right|.\cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}\Rightarrow \cos \widehat{\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} \right)}=-\,\frac{1}{2}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) là \({{60}^{0}}.\)

Chọn D