Câu hỏi 21

Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(Dt\parallel SC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset AB,\,\,\left( {SCD} \right) \supset CD\\AB\parallel CD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB,\,\,CD\). Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(Sx\parallel AB \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(I = Dt \cap Sx\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in Dt\\I \in Sx \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = Dt \cap \left( {SAB} \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = CI \cap SD\), khi đó thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( {AIC} \right)\) là tam giác \(AEC\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Dễ dàng chứng minh được \(SBAI,\,\,SCDI\) là hình bình hành \( \Rightarrow AI = SB = a,\,\,E\) là trung điểm của \(SD,\,\,IC\).

Tam giác \(SAD\) có \(SA = AD = a,\,\,\angle SAD = {90^0} \Rightarrow \Delta SAD\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SD = SA\sqrt 2  = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác \(IAC\) có:

\(\begin{array}{l}A{E^2} = \dfrac{{A{I^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2} + 2{a^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{I{C^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow I{C^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow IC = 2a \Rightarrow EC = \dfrac{1}{2}IC = a\end{array}\)

Khi đó áp dụng công thức Hê-rông ta có: \({S_{\Delta AEC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}\).

Chọn C.