Câu hỏi 16

Ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\left\{ C \right\} \\ & AB//MN \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\Delta \) (\(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(C\) và // với \(AB\)).

Gọi \(E,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(MN\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(MI\).

Suy ra \(\left\{ \begin{align} & EC\bot AB \\ & FC\bot MN \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left( \widehat{\left( ABC \right),\,\left( MNC \right)} \right)=\widehat{ECF}\)

Ta có \(MF=\frac{1}{4}MN=\frac{a}{4},\) \(MC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow CF=\sqrt{M{{C}^{2}}-M{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}\)

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E,\) có \(EC=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(EF=\frac{1}{2}E{A}'=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Áp dụng định lý \(\operatorname{cosin}\) cho tam giác \(ECF,\) \(\cos \widehat{ECF}=\frac{E{{C}^{2}}+F{{C}^{2}}-E{{F}^{2}}}{2EC.FC}=\frac{5\sqrt{33}}{33}\)

Vậy \(\tan \widehat{ECF}=\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\widehat{ECF}}-1}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\).

Chọn C