Câu hỏi 10

Ta có \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SB;AB \right)}=\widehat{SBA}={{60}^{0}}\)

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông SAB có : \(SA=AB.\tan {{60}^{0}}=\frac{a}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có \(d\left( AD;SC \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)\).

Kẻ \(AK\bot SB\). Khi đó

\(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AK=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Chọn A.