Câu hỏi 14

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {SBA}\) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABC \right)\)

Ta có \(SA=AB\tan \widehat{SBA}=a\sqrt{3}\).

Do \(AB||CD\)do đó \(d\left( AB;CM \right)=d\left( AB;\left( CMD \right) \right)=d\left( A;\left( SCD\right) \right)\)

Dựng \(AH\bot SD\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)\), khi đó \(d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AH\)

Lại có \(AH=\frac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Do đó \(d=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Chọn B.