Câu hỏi 12

Trong (SAC) kẻ \(AH \bot SC\)
Gọi E là trung điểm của AD.
Xét tam giác ACD có: \(AE = AB = a = \frac{1}{2}AD\)
\( \Rightarrow \Delta ACD\)vuông tại C (Trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\)

Trong tam giác vuông ABC có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\)vuông tại A.

Suy ra \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\)

Chọn A.