Câu hỏi 30

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Ta sẽ chứng minh \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Gọi \(E,D\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) lên \(AC,BC\).

Khi đó \(BE\bot AC,AD\bot BC\)

Ta có: \(SB\bot SA;SB\bot SC\Rightarrow SB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SB\bot AC\).

\(\Rightarrow AC\bot \left( SBE \right)\Rightarrow AC\bot SH\).

Chứng minh tương tự ta cũng được \(BC\bot SH\).

Do đó \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Vì \(SB\bot \left( SAC \right)\) nên \(SB\bot SE\Rightarrow \Delta SBE\) vuông tại \(S\).

Lại có \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) nên \(\frac{1}{S{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}} \\ & =\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{11}{6{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{6{{a}^{2}}}{11}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{66}}{11} \\\end{align}\)

Vậy \(d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).

Chọn D.