-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Câu hỏi 9
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD = \(2a\sqrt 5 \), SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600. Khoảng cách từ A đến mp(SCD) bằng ?
Phương pháp giải :
- Chứng minh \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Sử dụng định lí: \(AB\parallel \left( P \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\), đổi đỉnh tính khoảng cách từ M đến (SCD).
- Gọi N là trung điểm của CD, trong (SMN) dựng \(MH \bot SN\), chứng minh \(MH \bot \left( {SCD} \right)\).
- Đặt \(AB = x\), tính MC, MD theo x.
- Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD), từ đó tính SM theo x.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SMD tìm x, từ đó tính được SM và MN theo a.
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Lời giải chi tiết :
Vì tam giác SAB cân tại S nên \(SM \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow MC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD) \( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}\).
Gọi N là trung điểm của CD \( \Rightarrow MN \bot CD\).
Trong (SMN) kẻ \(MH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot MN\\CD \bot SM\,\,\left( {SM \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot MH\).
\(\left\{ \begin{array}{l}MH \bot CD\\MH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = MH\).
Ta có: \(AM\parallel CD \Rightarrow AM\parallel \left( {SCD} \right)\), do đó \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = MH\).
Gọi cạnh của hình vuông ABCD bằng x.
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(MC = MD = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{x\sqrt 5 }}{2}\).
Xét tam giác vuông SMC có: \(SM = MC.\tan {60^0} = \dfrac{{x\sqrt {15} }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SMD có:
\(\begin{array}{l}S{M^2} + M{D^2} = S{D^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15{x^2}}}{4} + \dfrac{{5{x^2}}}{4} = 20{a^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} = 20{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow x = 2a\end{array}\)
\( \Rightarrow MN = x = 2a\) và \(SM = \dfrac{{2a.\sqrt {15} }}{2} = a\sqrt {15} \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMN có:
\(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{15{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{60{a^2}}}\) \( \Rightarrow MH = \dfrac{{2a\sqrt {285} }}{{19}}\).
Vậy \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {285} }}{{19}} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{{\sqrt {19} }}\).
Chọn C.
Đáp án A:
\(\dfrac{{2a\sqrt {15} }}{{\sqrt {79} }}\
Đáp án B:
\(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {19} }}\).
Đáp án C:
\(\dfrac{{2a\sqrt {15} }}{{\sqrt {19} }}\).
Đáp án D:
\(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {79} }}\).