Câu hỏi 8

Ta có: \(y' =  - {x^2} + 2mx + m - 2\) có \(\Delta ' = {m^2} + m - 2\).

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) sao cho \(|{x_1} - {x_2}| = 4\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\|{x_1} - {x_2}| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\)(*).

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - m + 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\4{m^2} + 4\left( {m - 2} \right) = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 1\end{array} \right.\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 3\end{array} \right.\)

Chọn C.