Câu hỏi 18

Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + 2m - 5 \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + m + 5\) với \(\Delta {'_{y'}} =  - m - 1\)

- Nếu \(m \ge  - 1 \Rightarrow  - m - 1 \le 0 \Rightarrow \Delta {'_{y'}} \le 0 \Rightarrow y' \ge 0\forall x\)

Khi đó hàm số đồng biến trên R hay hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)

- Nếu \(m <  - 1 \Rightarrow  - m - 1 > 0 \Rightarrow \Delta {'_{y'}} > 0\). Khi đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\)

Ta có bảng biến thiên của y:

Hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow {x_2} \le 3 \Leftrightarrow 2 + \sqrt { - m - 1}  \le 3 \Leftrightarrow \sqrt { - m - 1}  \le 1 \Leftrightarrow 0 \le  - m - 1 \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le  - 1\)

Kết hợp nghiệm ta có \(m \in \left[ { - 2; - 1} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right) = \left[ { - 2; + \infty } \right)\) hay \(m \ge  - 2\).

Chọn D.