Câu hỏi 32

Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2m\left( {x + 1} \right) - 2x - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \ge  - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)

Do \(x \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow  - 2m \le \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow  - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 2 \Leftrightarrow  - 2m \le  - 2 \Leftrightarrow m \ge 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \(m \in Z,\,\,m < 5 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Chọn D.