Câu hỏi 12

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có đạo hàm là \(y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 3{m^2} + 1 = 0\)   (1)

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  = {m^2} + 3{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m <  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lý Viét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 1 - 3{m^2} + 2m = 1\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.