Câu hỏi 16

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^2} = m\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 2\\x =  - \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + 2\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

\(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2} \right),\,\,C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2} \right)\).

Ta có \(B,\,\,C\) đối xứng qua trục \(Oy\), \(O,\,\,A \in Oy\), do đó \(B,\,\,C\) đối xứng \(OA\).

Giả sử \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) ta có \(IA = IB = IC = IO\).

\(IB = IC \Rightarrow I\) thuộc trung trực của \(BC \Rightarrow I \in OA\).

\(IO = IA \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OA\).

Khi đó ta có \(IB = IA = IO = \frac{1}{2}OA\) \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(B\) (Định lí đường trung tuyến).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - \sqrt m ;{m^2}} \right);\,\,\overrightarrow {BO}  = \left( { - \sqrt m ;{m^2} - 2} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BO}  = 0\\ \Leftrightarrow m + {m^2}\left( {{m^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.