-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Câu hỏi 23
Đáp án đúng:
Đáp án C
Câu hỏi:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm. Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4}\).
Lời giải chi tiết :
Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.
Áp dụng định lý Vi-et ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = - a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} = - c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4} = - \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \dfrac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {\sum {\dfrac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}} \ge \dfrac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \dfrac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { - {x_1}} \right)} + \dfrac{1}{4}\sum {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.
Chọn C.
Đáp án A:
\(7\)
Đáp án B:
\(\dfrac{7}{2}\)
Đáp án C:
\(8\)
Đáp án D:
\(10\)