Câu hỏi 20

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận là \(y = 2;\,\,x =  - 1\).

Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne  - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0\) là:

\({d_1} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {\dfrac{{2a - 1 - 2a - 2}}{{a + 1}}} \right|\)\( = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x =  - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) là:

\({d_2} = \dfrac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {a + 1} \right|\).

Do đó tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận là:

\(d = {d_1} + {d_2} = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} + \left| {a + 1} \right|\) \( \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}.\left| {a + 1} \right|}  = 2\sqrt 3 \) (BĐT Cô-si)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} = \left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 + \sqrt 3 \\a =  - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(a =  - 1 + \sqrt 3 \) ta có \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\).

Với \(a =  - 1 - \sqrt 3 \) ta có \({M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\).

Vậy

\(\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\\,\,\,\,\, = \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 + 4 - 3\\\,\,\,\,\, =  - 1\end{array}\)

Chọn D.