Câu hỏi 2

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = x + m\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} - x + mx - m\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\1 + m - 3 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 4 + 4m > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 5 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}.{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\)

Giả sử \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1};{x_1} + m} \right);\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + m\left( {3 - m} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + 3m - {m^2} + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\end{array}\)

Vậy \(m =  - 2 \in \left( { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn A.