Câu hỏi 4

Ta có: \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right) = \dfrac{7}{3}\).

Đặt \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) .

Với \(x \in \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt.

Chọn C.