-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Câu hỏi 7
Đáp án đúng:
Đáp án D
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các điểm \(A,\,\,B\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung. Có bao nhiêu điểm \(A\) có hoành độ là số nguyên dương sao cho \(EF \le 2020\)?
Phương pháp giải :
- Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Dựa vào giả thiết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau, tức là \(y'\left( a \right) = y'\left( b \right)\), rút \(b\) theo \(a\).
- Viết phương trình tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) theo tham số \(a\).
- Xác định tọa độ các điểm \(E,\,\,F\) theo tham số \(a\).
- Tính \(EF\) theo tham số \(a\), sử dụng giả thiết \(EF \le 2020\) tìm khoảng giá trị của \(a\), từ đó tìm những số nguyên dương \(a\) thỏa mãn điều kiện tìm được.
Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3\).
Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Do tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên
\(y'\left( a \right) = y'\left( b \right) \Leftrightarrow 3{a^2} - 3 = 3{b^2} - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - b\end{array} \right.\)
Ta có: \(A\left( {a;{a^3} - 3a + 1} \right),\,B\left( { - a; - {a^3} + 3a + 1} \right)\) (\(a \in {\mathbb{N}^*}\)).
+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình:
\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} - 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x - 2{a^3} + 1\)
Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\)là điểm \(E\left( {0; - 2{a^3} + 1} \right)\).
+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) có phương trình:
\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x + a} \right) - {a^3} + 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x + 2{a^3} + 1\)
Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\) là điểm \(F\left( {0;2{a^3} + 1} \right)\).
\( \Rightarrow EF = \left| {4{a^3}} \right| = 4{a^3}\,\, \Rightarrow 4{a^3} < 2020\, \Rightarrow a < \sqrt[3]{{505}} \approx 7,96\)
Mà \(a \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;...;7} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Đáp án A:
\(10\).
Đáp án B:
\(11\).
Đáp án C:
\(8\).
Đáp án D:
\(7\).