-
Lớp 12
-
Lớp 11
-
Lớp 10
- SGK Toán 10 - Đại Số và Hình Học Toán 10
- SGK Toán 10 nâng cao
- SGK Tiếng Anh 10
- SGK Tiếng Anh 10 Mới
- Văn mẫu 10
- Soạn văn 10 chi tiết
- Soạn văn 10 ngắn gọn
- Soạn văn 10 siêu ngắn
- Tác giả - Tác phẩm văn 10
- SGK Vật lý 10
- SGK Vật lý 10 nâng cao
- SGK Hóa học 10
- SGK Hóa học 10 nâng cao
- SGK Sinh học 10
- SGK Sinh học 10 nâng cao
-
Lớp 9
-
Lớp 8
-
Lớp 7
-
Lớp 6
- Lớp 5
- Lớp 4
- Lớp 3
- Lớp 2
- Lớp 1
- Thông tin tuyển sinh
Câu hỏi 39
Đáp án đúng:
Đáp án A
Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right]\). Biết rằng \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}f''\left( x \right)f\left( x \right) + \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\\ \Leftrightarrow f''\left( x \right)f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = - \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{f''\left( x \right)f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \frac{1}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}}\\ \Leftrightarrow \left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = - \frac{1}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)} }^3}}}} = - \int\limits_{}^{} {{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - \frac{3}{2}}}dx} \\ \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}.2}} + C = {\left( {2x + 1} \right)^{ - \frac{1}{2}}} + C\end{array}\)
Thay \(x = 0\) ta có: \(\frac{{f'\left( 0 \right)}}{{f\left( 0 \right)}} = 1 + C \Leftrightarrow 1 = 1 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {\left( {2x + 1} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\).
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:
\(\int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_{}^{} {{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}dx} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}.2}} + C = {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} + C\).
Do \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow \ln f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} + C\).
Thay \(x = 0\) ta có \(\ln f\left( 0 \right) = 1 + C \Leftrightarrow \ln 1 = 1 + C \Leftrightarrow 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 1\).
\( \Rightarrow \ln f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{1}{2}}} - 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{{{\left( {2x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}} - 1}} \Rightarrow f\left( 4 \right) = {e^{3 - 1}} = {e^2}\).
Chọn A.
Đáp án A:
\({e^2}\)
Đáp án B:
\(2e\)
Đáp án C:
\({e^3}\)
Đáp án D:
\({e^2} + 1\)