Câu hỏi 28

Phương trình hoành độ giao điểm : \(2{x^2} + a = 3x \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + a = 0\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = 9 - 8a > 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{9}{8}\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {2{x^2} + a - 3x} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1}\)

\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {3x - 2{x^2} - a} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{2}{3}{x^3} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 - 4x_2^3 - 6a{x_2} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(2x_2^2 - 3{x_2} + a = 0 \Leftrightarrow a = 3{x_2} - 2x_2^2\)  thay vào \(\left( 1 \right)\) được :

\(9x_2^2 - 4x_2^3 - 6\left( {3{x_2} - 2x_2^2} \right){x_2} = 0 \Leftrightarrow 8x_2^3 - 9x_2^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0 \Rightarrow a = 0\left( {KTM} \right)\\{x_2} = \dfrac{9}{8} \Rightarrow a = \dfrac{{27}}{{32}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{{27}}{{32}} \in \left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{9}{{10}}} \right)\).

Chọn A.