Câu hỏi 31

Đặt \(t = 5x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = \dfrac{{dt}}{5}\\x = \dfrac{t}{5}\end{array} \right.\).

Đổi cận: Với \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); với \(x = 1 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right){\rm{d}}x}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {\dfrac{t}{5}f\left( t \right)\dfrac{{{\rm{dt}}}}{5}}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t}  = 25\)

Do đó \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\,\) (vì tích phân không phụ thuộc vào biến)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = f'\left( x \right){\rm{d}}x\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\, \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{2}.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 25\).

Chọn D.