Câu hỏi 25

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAC\) nên \(AG\) cắt \(SC\) tại trung điểm \(M\) của \(SC\), tương tự \(BG\) cắt \(SD\) tại trung điểm \(N\) của \(SD\).

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OI \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SI;OI} \right) = \angle SIO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SOI\) có: \(SO = OI.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \).

Suy ra \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}4{a^2} \cdot a\sqrt 3  = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có:

\(\dfrac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}} \cdot \dfrac{{SB}}{{SB}} \cdot \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{2}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\).

\(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}} \cdot \dfrac{{SN}}{{SD}} \cdot \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}.{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\).

Vậy \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}} = \dfrac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\)\( = \dfrac{3}{8}\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.