Câu hỏi 37

Gọi \(D\) là trung điểm của \(AA'\)  ta có \(ID\) là đường trung bình của tam giác \(AA'B\)\( \Rightarrow ID\parallel A'B\).

Mà \(A'B \bot AB'\) (do \(ABB'A'\) là hình vuông) \( \Rightarrow ID \bot AB'\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nên \(IC \bot AB\). Mà \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC\)

\( \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'\)

\( \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng qua \(I\) và vuông  góc với \(AB'\)  là \(\left( {ICD} \right).\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) nên \(AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\).

Vì \(ABB'A'\) là hình vuông \( \Rightarrow AA' = AB = a.\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}.\)

Chọn C.