Câu hỏi 42

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow A'M \bot \left( {ABC} \right)\,\,\,\left( {gt} \right).\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Do tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Kẻ\(MH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot A'M\,\,\left( {A'M \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AC \bot MH\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {A'MH} \right)\) \( \Rightarrow AC \bot A'H\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'H \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset MH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'H;MH} \right) = \angle A'HM = {45^0}\).

Ta có: \(A'M \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(A'M \bot MH\), khi đó tam giác \(A'MH\) vuông tại \(M\).

Lại có \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(ABN\) nên \(MH = \dfrac{1}{2}BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow A'M = MH.\tan {45^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'M.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}.\)

Chọn A.