Câu hỏi 49

Vì \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SI \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SI \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow IB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;IB} \right) = \angle SBI = {45^0}\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), có \(AB = a\) nên \(BI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(SI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SI \bot BI\), suy ra tam giác \(SIB\) vuông tại \(I\).

Lại có \(\angle SBI = {45^0}\) nên \(\Delta SIB\) vuông cân tại \(I \Rightarrow SI = IB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Chọn: A.