Câu hỏi 7

Gọi R, h, l lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của cái phễu.

Khi đó \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = 2 \Leftrightarrow h = \dfrac{6}{{\pi {R^2}}}\) và \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}}  = \sqrt {\dfrac{{36}}{{{\pi ^2}{R^4}}} + {R^2}} \).

Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.\sqrt {\dfrac{{36}}{{{\pi ^2}{R^4}}} + {R^2}}  = \sqrt {\dfrac{{36}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4}} \).

Ta có: \(\dfrac{{36}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4} = \dfrac{{18}}{{{R^2}}} + \dfrac{{18}}{{{R^2}}} + {\pi ^2}{R^4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{18}}{{{R^2}}}.\dfrac{{18}}{{{R^2}}}.{\pi ^2}{R^4}}} = 3\sqrt[3]{{{{\left( {18\pi } \right)}^2}}}\)  (BĐT Cô-si).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{18}}{{{R^2}}} = {\pi ^2}{R^4} \Leftrightarrow R = \sqrt[6]{{\dfrac{{18}}{{{\pi ^2}}}}}\).

Vậy \(\min {S_{xq}} = \sqrt {3{{\sqrt[3]{{\left( {18\pi } \right)}}}^2}}  \approx 6,65\,\,\left( {d{m^2}} \right).\)  

Chọn C.