Câu hỏi 14

Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\) là tam giác đều \(SAB\), \(I\) là tâm đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IM\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIM} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot SM\).

Trong \(\left( {SIM} \right)\) kẻ \(IH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SM\\IH \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {SIM} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(SH\) là hình chiếu của \(SI\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SI;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SI;SH} \right) = \angle \left( {SI;SM} \right) = \angle ISM = {45^0}\). Suy ra tam giác .. vuông cân tại \(I\).

\( \Rightarrow IM = SI = 3,\,\,SM = 3\sqrt 2 \).

Vì \(SM\) là chiều cao của tam giác đều \(SAB\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow 3\sqrt 2  = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 6 \).

\( \Rightarrow MA = MB = \dfrac{1}{2}AB = \sqrt 6 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMI\) có: \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}}  = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}  = \sqrt {15} \).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy hình nón là \(R = IA = \sqrt {15} \).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .I{A^2}.SI = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\sqrt {15} } \right)^2}.3 = 15\pi \).

Chọn D.