Câu hỏi 16

Gọi \(H\) là trung điểm đoạn \(AB\) và \(E\) là giao điểm hai đường chéo.

Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) (vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\))

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AB\\EH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow EH \bot \left( {SAB} \right)\)

Gọi I là trọng tâm tam giác \(SAB\), qua \(I\) kẻ \(Ix//HE\)

Qua \(E\) kẻ \(Ey//SH\), và \(Ey\) giao với \(Ix\) tại \(K\).

Khi đó \(KS = KA = KB = KC = KD.\)

Hay \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)

Ta có \(\Delta IKS\) vuông tại \(I\) có \(IS = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) ; \(HE = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}.\)

Nên \(KS = \sqrt {S{I^2} + I{K^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Chọn A.