Câu hỏi 17

Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên trung điểm \(M\) của \(AC\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\(M,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình trong \(\Delta ADC\) hay \(MI\parallel AD\).

Mặt khác, theo giả thiết \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MI \bot \left( {ABC} \right)\).

Mà \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(MI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(MI\) là trục của tam giác \(ABC\) hay \(IA = IB = IC\).

Vì \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \bot AC\)

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hay \(IA = ID = IC\).

Do đó, \(IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(D.ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow AC = 5a\).

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(CD = \sqrt {A{D^2} + A{C^2}}  = 5\sqrt 2 a\).

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(R = IA = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{{5\sqrt 2 a}}{2}.\)

Chọn D.