Câu hỏi 23

+ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ACD\) ta có

\(AH.AC = A{D^2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{A{D^2}}}{{AC}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\( \Rightarrow HC = AC - AH = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow IH = IC = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

\( \Rightarrow D{H^2} = AH.HC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow DH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)\( = IH\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(HDI\) có: \(DI = \sqrt {D{H^2} + H{I^2}}  = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}\).

Ta có: \(AI = AH + HI = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\cos \angle BAC = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \cos \angle MAI\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AIM\) có;

\(\begin{array}{l}M{I^2} = A{M^2} + A{I^2} - 2AM.AI.\cos \angle MAI\\M{I^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2} - 2.a.\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\\M{I^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{5} \Rightarrow MI = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADM\) có: \(DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}}  = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(DMI\) có \(D{M^2} = 2{a^2}\), \(D{I^2} + I{M^2} = {\left( {\dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} = 2{a^2}\)

\( \Rightarrow D{M^2} = D{I^2} + I{M^2}\)\( \Rightarrow \Delta DIM\) vuông tại \(I\)\( \Rightarrow \angle DIM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ADIM\) có: \(\angle DAM = \angle DIM = {90^0}\).

\( \Rightarrow A,\,\,I\) thuộc đường tròn đường kính \(DM\).

Gọi \(O\) là trung điểm của \(DM\)\( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ADIM\).

Kẻ đường thẳng \(d\) qua \(O\) và \(d \bot \left( {ADIM} \right)\), suy ra \(d\) là trục của mặt phẳng \(\left( {ADIM} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SE \bot AD\)\( \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(F\) là tâm tam giác đều \(SAD\) . Qua \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(OE\) cắt \(d\) tại \(O'\).

Ta có: \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(ADM\)\( \Rightarrow OE\parallel AM\)\( \Rightarrow OE \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB\\OE \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OE \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow O'F \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)\(O'F\) là trục của \(\Delta SAB\).

\( \Rightarrow O'S = O'A = O'B\).

Lại có \(O' \in d \Rightarrow O'A = O'D = O'I = O'M\).

\( \Rightarrow O'A = O'D = O'I = O'M = O'S\) \( \Rightarrow O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\).

+ Tính \(R = O'S\).

Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow SF = \dfrac{2}{3}SE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(EO\) là đường trung bình của tam giác \(ADM\)\( \Rightarrow EO = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{1}{2}a\)\( = O'F\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SFO'\) có: \(O'S = \sqrt {S{F^2} + O'{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy \(R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Chọn A.