Câu hỏi 27

Gọi O là tâm hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, khi đó ta có OA = OC = OB’ = OD’.

Khi đó O cũng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’.

Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ là R = OA = \(\dfrac{1}{2}AC'\).

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} \)\( = a\sqrt 5 \).

\(AC' = \sqrt {A{C^2} + AA{'^2}} \)\( = \sqrt {5{a^2} + 4{a^2}} \)\( = 3a\).

Suy ra \(R = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{3a}}{2}\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ là \(R = 4\pi {R^2}\)\( = 4\pi {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2}\)\( = 9\pi {a^2}\).

Đáp án D.