Câu hỏi 30

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(I\) là trung điểm \(SC\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\(IO\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(IO\parallel SA\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\).

\(IO\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và vuông góc với mp\(\left( {ABC} \right)\) nên \(IA = IB = IC\)     (1)

Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A,\) có trung tuyến \(AI\) nên \(AI = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IA = IB = IC = IS\) do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\)

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\)

                                               \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}}  = 10\sqrt 2 \) 

Suy ra \(R = IA = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}.10\sqrt 2  = 5\sqrt 2 \).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng \(5\sqrt 2 \).

Chọn C.