Câu hỏi 11

Cách 1: Ta có\(A,\ B,\ C\) lần lượt thuộc các trục tọa độ \(Ox,\ Oy,\ Oz\Rightarrow A\left( {{x}_{A}};\ 0;\ 0 \right),\ \ B\left( 0;\ {{y}_{B}};\ 0 \right),\ \ C\left( 0;\ 0;\ {{z}_{C}} \right)\)

Lại có \(A,\ B,\ C\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow A\left( 2;\ 0;\ 0 \right),\ \ B\left( 0;-4;\ 0 \right),\ C\left( 0;\ 0;\ -\frac{4}{3} \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {2;\;0;\;0} \right),\;\;\overrightarrow {OB} = \left( {0; - 4;\;0} \right),\;\;\overrightarrow {OC} = \left( {0;\;0; - \frac{4}{3}} \right).\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&0\\
0&{ - \frac{4}{3}}
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
{ - \frac{4}{3}}&0
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 4}\\
0&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{16}}{3};\;0;\;0} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right] = 2.\frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}.\\
\Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \frac{1}{6}.\frac{{32}}{3} = \frac{{16}}{9}.
\end{array}\)

Cách 2: Theo đề bài ta thấy được mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( ABC \right).\)

Tứ diện \(OABC\) là tứ diện có \(OA,\ OB,\ OC\) đôi một vuông góc với nhau.

Khi đó ta có công thức tính nhanh thể tích tứ diện \(OABC:\ \ {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC.\)  

Chọn D.