Câu hỏi 50

Ta có \(\overrightarrow{OA}=\left( 1;0;1 \right),\ \overrightarrow{OB}=\left( 0;1;-1 \right),\ OA=OB=\sqrt{2},\)

\(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-2 \right),\ AB=\sqrt{6}.\)

Suy ra \(\frac{{{S}_{ODE}}}{{{S}_{OAB}}}=\frac{OD.OE}{OA.OB}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{OD.OE}{2}\Leftrightarrow OD.OE=1.\)

Lại có \(\cos \widehat{AOB}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=\frac{2+2-6}{4}=\frac{-1}{2}.\)

Mặt khác \(D{{E}^{2}}=O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}-2OD.OE\cos \widehat{AOB}=O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}+OD.OE\ge 3OD.OE.\)

\(\Rightarrow DE\ge \sqrt{3}\). Dấu bằng xảy ra khi \(OD=OE=1\)

Khi đó \(\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\overrightarrow{OA}\Rightarrow D\left( \frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right),\ \overrightarrow{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\overrightarrow{OB}\Rightarrow E\left( 0;\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)

Vậy trung điểm \(I\) của \(DE\) có tọa độ \(I\left( \frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};0 \right)\).

Chọn A