Câu hỏi 43

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right),\,\left( {a,b,c > 0} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( {\dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3}} \right)\); \(OG = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{9} + \dfrac{{{b^2}}}{9} + \dfrac{{{c^2}}}{9}}  = \dfrac{1}{3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

Do \(E\left( {8;1;1} \right) \in \left( \alpha  \right)\) nên  \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\)

Ta có: \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {2 + 2 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{2a + b + c}} = \dfrac{{36}}{{2a + b + c}} \Rightarrow 2a + b + c \ge 36\)

Mà \(2a + b + c \le \sqrt {\left( {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \)

\( \Rightarrow 36 \le \sqrt {6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}  \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  \ge 6\sqrt 6  \Rightarrow OG \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{1} = \dfrac{c}{1}\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = c = 6\end{array} \right.\)

Suy ra, \(O{G_{\min }} = 2\sqrt 6 \) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left( \alpha  \right):\dfrac{x}{{12}} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow \)\(x + 2y + 2z - 12 = 0\).

Chọn: A