Câu hỏi 27

Theo bài ra ta có: \(MA.\overrightarrow {MA}  + MB.\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow MA.\overrightarrow {MA}  =  - MB.\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{\overrightarrow {MB} }} =  - \dfrac{{MB}}{{MA}} < 0\).

\( \Rightarrow M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\).

Dễ thấy khi \(M\) chạy trên \(d\) và \(M,\,\,B\) thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA}  + MB.\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) thì \(B\) chạy trên đường thẳng \({d_1}//d\).

Gọi \({M_1},\,\,{B_1}\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(d,\,\,{d_1} \Rightarrow {M_1}A.\overrightarrow {{M_1}A}  + {M_1}{B_1}.\overrightarrow {{M_1}{B_1}}  = \overrightarrow 0 \).

\({M_1} \in d \Rightarrow {M_1}\left( { - 3 + 2t;1 + 2t; - 4 + t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}A}  = \left( {4 - 2t;1 - 2t;8 - t} \right)\).

\(\overrightarrow {{M_1}A} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {4 - 2t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right) + 8 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{M_1}A}  = \left( {0; - 3;6} \right) \Rightarrow {M_1}A = 3\sqrt 5 \\{M_1}\left( {1;5; - 2} \right)\end{array} \right.\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \({d_1} \Rightarrow \Delta \) đi qua \(A,\,\,{M_1}\).

\( \Rightarrow Pt\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.;\,\,{B_1} \in \Delta  \Rightarrow {B_1}\left( {1;2 - b;4 + 2b} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{B_1}}  = \left( {0; - 3 - b;6 + 2b} \right) \Rightarrow {M_1}{B_1} = \sqrt {{{\left( { - 3 - b} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2b} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \left| {b + 3} \right|\).

\(\begin{array}{l}{M_1}A.\overrightarrow {{M_1}A}  + {M_1}{B_1}.\overrightarrow {{M_1}{B_1}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\sqrt 5 \left( {0; - 3;6} \right) + \sqrt 5 \left| {b + 3} \right|\left( {0; - 3 - b;6 + 2b} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 + \left| {b + 3} \right|\left( { - 3 - b} \right) = 0\\18 + \left| {b + 3} \right|\left( {6 + 2b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {b + 3} \right|\left( {b + 3} \right) =  - 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + 3 < 0\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b <  - 3\\\left[ \begin{array}{l}b + 3 = 3\\b + 3 =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 3\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - 6\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{B_1}\left( {1;2;4} \right)\,\,\left( {ktm\,\,do\,\, \equiv A} \right)\\{B_1}\left( {1;8; - 8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Dựa vào các đáp án ta thấy \({B_1} \in {d_1}:\dfrac{{x + 7}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 12}}{1}\).

Vậy khi điểm M thay đổi trên đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{1}\) thì điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là \({d_1}:\dfrac{{x + 7}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 12}}{1}\).

Chọn D