Câu hỏi 23

Tần số góc của hai con lắc lần lượt là:

\(\begin{align}& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}}} \\& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{{{m}_{2}}}}=\sqrt{\frac{4{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}}}=2{{\omega }_{1}} \\\end{align}\)

Biên độ dao động của hai con lắc:

\(\begin{align}& {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{2W}{{{k}_{1}}}}=\sqrt{\frac{2.0,125}{100}}=0,05\,\,\left( m \right)=5\,\,\left( cm \right) \\& {{A}_{2}}=\sqrt{\frac{2W}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{2.0,125}{400}}=0,025\,\,\left( m \right)=2,5\,\,\left( cm \right) \\\end{align}\)

Chọn hệ trục tọa độ với chiều dương như hình vẽ.

Phương trình dao động của hai con lắc lần lượt là:

\(\begin{align}& {{x}_{1}}=5\cos \left( {{\omega }_{1}}t-\pi  \right)=-5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)\,\,cm \\& {{x}_{2}}=10+2,5\cos \left( 2{{\omega }_{1}}t \right)=5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)+7,5\,\,cm \\\end{align}\)

Khoảng cách giữa hai vật: \(d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)

\(\Rightarrow d=\left| -5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)-5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)-7,5 \right|=\left| 5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)+5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+7,5 \right|\)

Đặt \(x=\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)\), xét hàm số \(y=5{{x}^{2}}+5x+7,5\Rightarrow y{{'}_{\left( x \right)}}=10x+5\)

Để \({{y}_{\min }}\Rightarrow y{{'}_{\left( x \right)}}=0\Rightarrow 10x+5=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Với \(x=\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=6,25\Rightarrow d=\left| y \right|=6,25\,\,\left( cm \right)\)

Chọn B.