Câu hỏi 35

- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\omega _1} = \sqrt {\dfrac{{{k_1}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{100}}{m}}  = \dfrac{{10}}{{\sqrt m }}}\\{{\omega _2} = \sqrt {\dfrac{{{k_2}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{25}}{m}}  = \dfrac{5}{{\sqrt m }}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\omega _1} = 2{\omega _2}\)

- Lò xo \({k_1}\) có chiều dài tự nhiên \({l_{1}} = {\rm{ }}35cm\) 

Lò xo \({k_2}\) _{­ ­}có chiều dài tự nhiên \({l_2} = {\rm{ }}26cm\)

\( \Rightarrow \) Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : \(35{\rm{ }}--{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}9cm\)

- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo \({k_1}\) dãn một đoạn \(3cm\), lò xo \({k_2}\) nén một đoạn \(6cm\) rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà.

Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo \({k_1}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình dao động điều hoà của hai vật :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 3\cos \left( {{\omega _1}t} \right) = 3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right)}\\{{x_2} =  - 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t + \pi } \right) =  - 9 - 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :

\(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right|\)

Vì :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) = 2{\cos ^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1 \hfill \\
\Rightarrow \Delta x = \left| {3\left( {2{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right| \hfill \\
\end{gathered} \\
{ \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right) + 6} \right|}
\end{array}\)

Đặt : \(a = \cos \left( {{\omega _2}t} \right) \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{a^2} + 6a + 6} \right|\)

Ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
6.{a^2} + 6a + 6 = 6\left( {{a^2} + a + 1} \right) \hfill \\
= 6\left[ {{{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] = 6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \hfill \\
\end{gathered} \\
\begin{gathered}
6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \leqslant 4,5 \hfill \\
\Rightarrow {\left( {6.{a^2} + 6a + 6} \right)_{\min }} = 4,5 \hfill \\
\end{gathered} \\
{ \Rightarrow \Delta {x_{\min }} = 4,5cm}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :

\({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{{{\min }^2}}}}  = \sqrt {{9^2} + 4,{5^2}}  = 10,06cm\)

Chọn C.