Câu hỏi 3

Ta có: \(\widehat {P{O_2}Q} = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \widehat {P{O_2}Q} = \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\tan {\varphi _2} - \tan {\varphi _1}}}{{1 + \tan {\varphi _2}.\tan {\varphi _1}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}} - \dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}}.\dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{a} - \dfrac{{{O_1}P}}{a}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{a}.\dfrac{{{O_1}P}}{a}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{{O_1}Q - {O_1}P}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}} = \dfrac{{const}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}}\end{array}\)

Để \(\tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\max  \Leftrightarrow \left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)\min \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \\ \Rightarrow \left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)\min  = 2\sqrt {{O_1}Q.{O_1}P} \end{array}\)

(Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \sqrt {{O_1}Q.{O_1}P}  = \sqrt {9.16}  = 12\,\,\left( {cm} \right)\))

Ta có: \({O_2}P = \sqrt {{a^2} + {O_1}{P^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}}  = 15\,\,\left( {cm} \right)\)

\({O_2}Q = \sqrt {{a^2} + {O_1}{Q^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}}  = 20\,\,\left( {cm} \right)\)

Điểm P không dao động, ta có: \(P{O_2} - P{O_1} = 15 - 9 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \)

Điểm Q dao động với biên độ cực đại: \(Q{O_2} - Q{O_1} = 20 - 16 = k\lambda \)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \\4 = k\lambda \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\\lambda  = 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

→ Q là cực đại bậc 1, giữa P và Q không có cực đại nào khác

Trên OP, gọi N là điểm gần nhất dao động với biên độ cực đại

→ N là cực đại bậc 2 ứng với k = 2, ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {O{N^2} + {a^2}}  - ON = 2\lambda \\ \Rightarrow \sqrt {O{N^2} + {{12}^2}}  - ON = 2.4 \Rightarrow ON = 5\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow PN = {O_1}P - ON = 9 - 5 = 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn A.