Câu hỏi 25

Công suất tiêu thụ trên biến trở R là:

\(P={{I}^{2}}R=\frac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}R}{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{2r+R+\frac{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}}\)

Để P max thì mẫu số nhỏ nhất. Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có:

\(R+\frac{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}\ge 2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\)

Vậy mẫu số nhỏ nhất bằng \(2r+2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\) khi \(R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=80\Omega \)

Tổng trở mạch điện khi đó là:

\(Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{(80+r)}^{2}}+{{80}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{2.80}^{2}}+160r}\)

Để Z chia hết cho 40 thì \(\frac{{{Z}^{2}}}{{{40}^{2}}}=8+\frac{r}{10}\) là số nguyên và r nhỏ nhất => r = 10Ω => Z = 120Ω

Hệ số công suất đoạn mạch AB là: \(\cos \varphi =\frac{R+r}{Z}=\frac{80+10}{120}=0,75\)

Chọn C