XemLoiGiai PageĐề bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi AH là đường cao và M, N, P lần lượt là trung điểm cỉa AB, AC và BC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác DAHB là hình chữ nhật.
b) Tìm điều kiện của \(\Delta ABC\) để AMPN là hình chữ nhật
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
Lời giải chi tiết
a) Ta có MA = MB (gt)
MD = MH (tính chất đối xứng)
\( \Rightarrow DAHB\) là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {AHB} = {90^ \circ }\left( {gt} \right)\)
Do đó tứ giác DAHB là hình chữ nhật.
b) Ta có NP là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (N, P là trung điểm của AC và BC)
\(\Rightarrow NP// AB\) và \(NB = \dfrac{1 }{2}AB\) hay \(NP//AM\) và MP = AM.
Do đó AMPN là hình bình hành.
Hình bình hành AMPN là hình chữ nhật \( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = {90^ \circ }\) .
Do đó \(\Delta ABC\) vuông tại A.
