XemLoiGiai PageĐề bài
Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: \(IK \bot MN.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
Lời giải chi tiết
Ta có M là trung điểm của BE
I là trung điểm của DE
\( \Rightarrow MI\) là đường trung bình của \(\Delta BDE\)
\( \Rightarrow MI//BD\) và \(MI = \dfrac{1}{2}BD\)
Lại có NK là đường trung bình của tam giác CBD (do N là trung điểm CD và K là trung điểm BC) nên \(NK//BD\) và \(NK = \dfrac{1}{2}BD\)
Do đó \(MI//NK\) nên tứ giác MINK là hình bình hành (1)
Ta có IN là đường trung bình của \(\Delta CDE\) (do I là trung điểm DE và N là trung điểm DC)
\( \Rightarrow IN = \dfrac{1 }{ 2}CE\) mà CE = BD (gt) \( \Rightarrow IN = IM\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) Tứ giác MINK là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
