XemLoiGiai PageĐề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm M, N theo thứ tự di động trên các cạnh AB và AC sao cho AM = CN. Hãy tìm tập hợp các trung điểm I của MN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h.\)
Lời giải chi tiết
Kẻ \(NP//AB\) ta có:
\(\widehat {NPC} = \widehat B\) (đồng vị) mà \(\widehat B = \widehat C\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {NPC} = \widehat C\) hay \(\Delta NPC\) cân
\( \Rightarrow NP = NC\) mà NC = MA (gt) \( \Rightarrow NP = MA\) và \(NP// MA\)Do đó tứ giác ANPM là hình bình hành có I là trung điểm của MN
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của AP.
Kẻ IH và AK cùng vuông góc với BC ta có IH là đường trung bình của \(\Delta AKP\) nên \({\rm{IH}} = \dfrac{1 }{2}AK\) (không đổi)
Vậy tập hợp các trung điểm I của MN khi M, N di động trên AB và AC là đường thẳng song song với BC và cách BC một đoạn bằng \(\dfrac {1}2AK\) hay chính là đường trung bình song song với cạnh BC của tam giác ABC.
