Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Năm 2020 - 2021 - Trường THPT Chuyên Lâm Đồng (đề chính thức) | Xem Loi Giai - Hướng dẫn giải chi tiết, giải bài tập SGK, đề thi, đề kiểm tra và nhiều thủ thuật hữu ích

Xem lời giải và đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh vào lớp 10, môn Toán, năm 2020 - 2021 trường THPT Chuyên Lâm Đồng (đề chính thức)

Sở GD&ĐT Lâm Đồng

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC: 2020 - 2021

Môn: Toán (chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút
Khóa thi ngày: 14, 15, 16/7/2020

Câu 1. (2.0 điểm). Chứng minh rằng hàm số y=\left(-m^{2}+2 m-10\right) x+2021 luôn nghịch biến với mọi giá trị của tham số m

Câu 2. (2.0 điểm). Giải phương trình: $\sqrt{4-x^{2}}+6=2 \sqrt{2+x}+3 \sqrt{2-x}$

Câu 3. (2.5 điểm).Tìm các số tự nhiên n sao cho $n^{2}+18 n+2020$ là số chính phương

Câu 4. (2.5 điểm). Cho hình thang $A B C D(A B / / C D)$ , hai đương chéo vuông góc với nhau. Biết $A C=8 \mathrm{cm} ; B D=6 \mathrm{cm}$ . Tính chiều cao của hình thang

Câu 5. (1.5 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e, ta luôn có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2} \geq a(b+c+d+e)$

Câu 6. (1.5 điểm). Cho phương trình: $x^{2}+m x+n=0$ , trong đó x là ẩn số; m, n là tham số thỏa mãn m + n = 4. Tìm các giá trị của m, n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho

Câu 7. (2.0 điểm). Một tổ chức từ thiện cần chia đều một số quyển vở thành các phần quà để tặng cho các cháu nhỏ ở một trung tâm nuôi dạy trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm 6 quyển vở thì sẽ có thêm 5 phần quà nữa cho các cháu, còn nếu mỗi phần quà giảm 10 quyển vở thì các cháu sẽ có thêm 10 phần quà. Hỏi tổ chức từ thiện trên có bao nhiêu quyển vở.

Câu 8. (2.5 điểm). Cho hai đường tròn (O; R) và đường tròn (O', R') tiếp xúc trong tại điểm A (trong đó R > R'). Gọi BC là một dây của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC

Câu 9. (1.5 điểm). Cho các số thực x, y, z đôi khi khác nhau thỏa mãn: $x^{3}=3 x-1$ , $y^{3}=3 y-1$ và $z^{3}=3 z-1$ . Tính giá trị biểu thức: $S=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Câu10. (2.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH, BD, CK là các đường cao của tam giác (H∈ BC, D∈ AC, K∈ AB). Chứng minh rằng:

Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên Lâm Đồng

Câu 1:

Ta có:

$-m^2 + 2m - 10 = - (m-1)^2 - 9 \leq -9 < 0$ với mọi m

hay hàm số đã cho luôn nghịch biến (đpcm).

Câu 2:

$\sqrt{4-x^2} + 6 = 2\sqrt{2+x} + 3\sqrt {2-x}$

$ĐKXĐ: -2 \leq x \leq 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2+x)(2-x)} + 6 = 2\sqrt{2+x} + 3\sqrt {2-x}$

$\Leftrightarrow ( \sqrt{2+x} -3)(\sqrt {2-x} - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sqrt{2+x}=3 \hfill \cr \sqrt{2-x}=2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x =7 & (loại) \hfill \cr x =-2 & (tm) \hfill \cr} \right.$

KL....

Câu 3:

Đặt $n^2 + 18n + 2020 = a^2 (a ∈ ℕ*)$

$⇔ (n+9)^2 + 1939 = a^2$

$⇔ 1.1939 = 7.277 = a^2 - (n+9)^2 = (a-n-9)(a+n+9)$

Dễ thấy a + n + 9 > a - n - 9

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a-n-9=1 \\ a+n+9=1939 \\ \left\{\begin{array}{l} a-n-9=7 \\ a+n+9=277 \end{array}\right. \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\left\{\begin{array}{l} a=970 \\ n+9=969 \Leftrightarrow n=960 \\ a=142 \\ n+9=135 \Leftrightarrow n=126 \end{array}\right.\right.$ (tm)

KL....

Câu 4:

Gọi BD cắt AC tại E. Vẽ đường thẳng BF // AC, F thuộc CD.

Gọi h (cm) là đường cao cần tìm.

Xét tứ giác ABFC có AB // CF, AC // BF ⇒ ABFC là hình bình hành ⇒ AB = CF và AC = BF = 8 cm.

Vì BD ⊥ AC, và BF // AC ⇒ BF ⊥ BD, áp dụng định lý Pytago ta có:

$⇒ AB + CD = CF + CD = DF = \sqrt{{BD}^2 + {BF}^2} = \sqrt{{6}^2 + {8}^2} = 10$ (cm)

Ta có:

$2S_{\triangle DBF}=BD.BF=h.DF$

$⇒h=\frac{BD.BF}{DF}=\frac{6.8}{10}=4,8$ (cm)

KL...

Câu 5:

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a(b+c+d+e)$

$⇔4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4a(b+c+d+e)$

$⇔(a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2)\ge0$

$⇔(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2\ge0$

BĐT cuối luôn đúng, mà các phép biến đổi là tương đương nên ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = 2b = 2c = 2d = 2e.

Câu 6:

Để PT đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔

$\Delta=m^2-4n=m^2-4(4-m)=m^2+4m-16>0$

$⇔ \left[ \matrix{ m > - 2 + 2 \sqrt 5 \hfill \cr m < - 2 - 2 \sqrt 5 \hfill \cr} \right.$

Vì x₁, x₂ là nghiệm của phương trình đã cho nên:

$x_2^2 + mx_2 + n = 0 ⇔ x_2^2 = -mx_2 -n = -mx_2 - 4 + m$

Vì:

$x_1- x_2 = x_2^2 \geq 0 ⇒ x_1 \geq x_2$

$⇒ \left\{ \matrix{ x_1 = \dfrac{-m +\sqrt{\Delta}}2 \hfill \cr x_2 = \dfrac{-m -\sqrt{\Delta}}2 \hfill \cr} \right.$

Thay vào ta có:

$x_1=x_2+x_2^2=x_2-mx_2-4+m$

$⇔\frac{-m+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-m-\sqrt{\Delta}}{2}.(1-m)-4+m$

$⇔-m+\sqrt{\Delta}=(-m-\sqrt{\Delta})(1-m)-8+2m$

$⇔ -m +\sqrt{\Delta} = -m-\sqrt{\Delta} + m^2 + m\sqrt{\Delta} -8 + 2m$

$⇔\sqrt{\Delta}(2-m)=m^2+2m-8=(m-2)(m+4)$

$⇔ \left[ \matrix{ m = 2 & (loại)\hfill \cr \sqrt {\Delta} = -m - 4 \hfill \cr} \right.$

⇒ $\left\{ \matrix{ -m - 4 \geq 0 ⇔ m \leq -4 \hfill \cr \Delta = (-m-4)^2 ⇔ m^2 + 4m - 16 = m^2+ 8m + 16 \hfill \cr} \right.$

$⇔ \left\{ \matrix{ m < -2-2\sqrt 5 \hfill \cr 4m = 32 ⇔ m = 8 &(loại) \hfill \cr} \right.$

KL Vô nghiệm.

Câu 7:

Gọi số quyển vở tổ chức đó có là A (A ∈ ℕ*)

Gọi số vở ở mỗi phần quà ban đầu là B (B ∈ ℕ*)

Ta có số phần quà ban đầu là: $\frac{A}{B}$

Theo bài ra ta có hệ:

$\left\{ \matrix{ \dfrac{A}{B-6} = \dfrac{A}{B} + 5 \hfill \cr \dfrac{A}{B-10} = \dfrac{A}{B} + 10 \hfill \cr} \right.$

$⇔ \left\{ \matrix{ AB =A(B-6)+ 5B(B-6) \hfill \cr AB =A(B-10)+ 10B(B-10) \hfill \cr} \right.$

$⇔ \left\{ \matrix{ 6A = 5B^2 - 30 B = 6B^2 - 60B \hfill \cr A = B^2 - 10B \hfill \cr} \right.$ $⇔ \left\{ \matrix{ B^2 -30B = 0 \hfill \cr A = B^2 - 10B \hfill \cr} \right.$

$⇔ \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ B = 0 &(Loại) \hfill \cr B = 30 &(tm) \hfill \cr} \right. \hfill \cr A = B^2 - 10B \hfill \cr} \right.$

⇒ A = 600 (quyển vở).

KL...

Câu 8:

Kéo dài AD cắt (O;R) tại điểm thứ hai là E.

Ta thấy △O'AD cân tại O' (do O'A = O'D = R') ⇒ ∠O'AD = ∠O'DA.

Tương tự, △OAE có OA = OE = R ⇒ △OAE cân tại O ⇒ ∠OEA = ∠OAE = ∠O'AD = ∠O'DA

⇒ O'D // OE (góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Mà O'D ⊥ BC (do BC là tiếp tuyến của (O';R') ⇒ OE ⊥ BC ⇒ E là điểm chính giữa cung BC

⇒ AE là phân giác góc BAC, hay AD là phân giác của góc BAC (đpcm).

Câu 9:

Vì x; y; z đôi một khác nhau và thoả mãn đề bài, nên x; y; z là 3 nghiệm phân biệt của phương trình

$X^3-3X + 1 = 0$

và $(X-x)(X-y)(X-z) = 0$

$\Leftrightarrow X^3 - X^2 (x+y+z) + X (xy+yz+zx) - xyz = 0$

$⇒\left\{ \matrix{ x+y+z = 0 \hfill \cr xy+yz+zx = -3 \hfill \cr xyz = -1 \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$S = x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx)$

$= 0^2 - 2.(-3) = 6$

Câu 10:

Ta thấy ∠BKE = ∠BHE = 90° ⇒ tứ giác BKEH nội tiếp ⇒ ∠BHK = ∠BEK.

Tương tự, tứ giác AKED nội tiếp ⇒ ∠KAD = 180° - ∠KED = ∠BEK

⇒ ∠BHK = ∠KAD = ∠BAC.

Tương tự, tứ giác HEDC nội tiếp ⇒ ∠CHD = ∠CED = ∠BEK = ∠BAC

⇒ ∠KHD = 180° - ∠BHK - ∠CHD = 180° - 2.∠BAC = 180° - 2.∠A

Áp dụng công thức sin, ta có:

$\dfrac{S_{HDK}}{S_{ABC}} = \dfrac{HK.HD.sin(180° - 2A)}{AB.AC.sinA} = \dfrac{HK.HD.sin2A}{AB.AC.sinA} = \dfrac{2.HK.HD.cosA}{AB.AC}$

Xét △BKH và △BCA có:

Góc ∠ABC chung

∠BKH = ∠BEH = 180° - ∠HED = ∠BCA

Suy ra △BKH ∽ △BCA ⇒ $\frac{HK}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{AB}$

Tương tự, chứng minh được △CHD ∽ △CAB ⇒ $\dfrac{HD}{AB} = \dfrac{CH}{CA} = \dfrac{CD}{CB}$ .

Ta lại có:

$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{AK}{AC}$

$\cos B=\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BA}$

$\cos C=\frac{CH}{CA}=\frac{CD}{CB}$

Ta có:

$\dfrac{S_{HDK}}{S_{ABC}} = \dfrac{2.HK.HD.cosA}{AB.AC} = 2.\dfrac{BK}{BC}.\dfrac{CD}{BC}.cos A = 2cosB.cosC.cosA$

$= 2cosB.cosC.cos(\pi -B-C) = -2cosB.cosC.cos(B+C)$

Thay vào, ta có:

$\frac{S_{HDK}}{S_{ABC}}+\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=-2\cos B.\cos C.\cos(B+C)+\cos^2(B+C)+\cos^2B+\cos^2C$

$= -2cosB.cosC.(cosB.cosC - sinB.sinC)+ (cosB.cosC - sinB.sinC)^2 + {cos}^2 B + {cos}^2 C$

$=(cosB.cosC - sinB.sinC) (cosB.cosC - sinB.sinC -2cosB.cosC) + {cos}^2 B + {cos}^2 C$

$=-(\cos B.\cos C-\sin B.\sin C)(\cos B.\cos C+\sin B.\sin C)+\cos^2B+\cos^2C$

$=-\cos^2B.\cos^2C+\sin^2B.\sin^2C+\cos^2B+\cos^2C$

$=-\cos^2B.\cos^2C+(1-\cos^2B).(1-\cos^2C)+\cos^2B+\cos^2C$

$=1$

Hay $\frac{S_{HDK}}{S_{ABC}}+\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1$ (đpcm).

Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Năm 2020 - 2021 - Trường THPT Chuyên Lâm Đồng (đề chính thức)

Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên Lâm Đồng

Bình luận

Đề thi, Bài giải mới nhất

Đề thi thử