Bài 8 trang 62 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:

a

Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)

Lời giải chi tiết:

Theo hệ quả định lí cosin: \({\mathop{\rm cosA}\nolimits}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\).

Khi đó:

\({a^2} < {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\)

Mà \(2bc > 0\) nên \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0\)

\( \Leftrightarrow \cos A > 0\)

\(\Leftrightarrow A\) là góc nhọn.

Vậy góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)

b

Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)

Lời giải chi tiết:

\({a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \)

Mà \(2bc > 0\) nên \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < 0\)

\(\Leftrightarrow \cos A < 0\)

\(\Leftrightarrow A\) là góc tù.

Vậy góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)

c

Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Lời giải chi tiết:

Theo định lí Py-ta-go thì: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

\(\Leftrightarrow \) góc \(A\) là góc vuông.

Cách trình bày khác:

Góc A vuông \( \Leftrightarrow \cos A = \cos {90^0} = 0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 0\) \( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}\)