Câu hỏi 7

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3\).

Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Do tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên

\(y'\left( a \right) = y'\left( b \right) \Leftrightarrow 3{a^2} - 3 = 3{b^2} - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a =  - b\end{array} \right.\)

Ta có:  \(A\left( {a;{a^3} - 3a + 1} \right),\,B\left( { - a; - {a^3} + 3a + 1} \right)\) (\(a \in {\mathbb{N}^*}\)).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} - 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x - 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\)là điểm \(E\left( {0; - 2{a^3} + 1} \right)\).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x + a} \right) - {a^3} + 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x + 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\) là điểm \(F\left( {0;2{a^3} + 1} \right)\).

\( \Rightarrow EF = \left| {4{a^3}} \right| = 4{a^3}\,\, \Rightarrow 4{a^3} < 2020\, \Rightarrow a < \sqrt[3]{{505}} \approx 7,96\)

Mà \(a \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;...;7} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.